题目内容
已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)(文科)已知k为非零常数,若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|f(x)对于任意t∈R恒成立,求实数x的取值集合;
(3)(理科)设不等式f(x)≤2的解集为集合A,若存在x∈A,使得x2+(1-a)x=-9求实数a的最小值.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)(文科)已知k为非零常数,若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|f(x)对于任意t∈R恒成立,求实数x的取值集合;
(3)(理科)设不等式f(x)≤2的解集为集合A,若存在x∈A,使得x2+(1-a)x=-9求实数a的最小值.
分析:(1)先对函数进行化简可得f(x)=
,结合函数的性质可求函数的最小值
(2)由|t-k|+|t+k|≥|(t-k)-(t+k)|=2|k|
(|t-k|+|t+k|)min=2|k|
|t-k|+|t+k|≥|k|f(x)对于任意t∈R恒成立转化为f(x)≤2 即|x-1|+|x-2|≤2,解绝对值不等式可得x的取值集合
(3)由(1)可得A=[
,
],由x2+(1-a)x=-9得1-a=-
=-(x+
)
结合函数x+
在x∈[
,
]上单调性 及
≤x+
≤
从而有-
≤1-a≤-
,解不等式可求a的取值范围,进而可求实数a的最小值
|
(2)由|t-k|+|t+k|≥|(t-k)-(t+k)|=2|k|
(|t-k|+|t+k|)min=2|k|
|t-k|+|t+k|≥|k|f(x)对于任意t∈R恒成立转化为f(x)≤2 即|x-1|+|x-2|≤2,解绝对值不等式可得x的取值集合
(3)由(1)可得A=[
1 |
2 |
5 |
2 |
x2+9 |
x |
9 |
x |
结合函数x+
9 |
x |
1 |
2 |
5 |
2 |
61 |
10 |
9 |
x |
37 |
2 |
37 |
2 |
61 |
10 |
解答:解:(1)f(x)=
∴x>2时,2x-3>1;x<1时,3-2x>1;1≤x≤2时,f(x)=1
∴f(x)min=1
(2)∵|t-k|+|t+k|≥|(t-k)-(t+k)|=2|k|
(|t-k|+|t+k|)min=2|k|
问题转化为f(x)≤2 即|x-1|+|x-2|≤2
显然由
得2<x≤
得
≤x<1
∴实数x的取值集合为[
,
]
(3)A=[
,
],由x2+(1-a)x=-9得1-a=-
=-(x+
)
由函数x+
在x∈[
,
]上单调递减∴
≤x+
≤
∴-
≤1-a≤-
∴
≤a≤
故实数的最小值为
|
∴x>2时,2x-3>1;x<1时,3-2x>1;1≤x≤2时,f(x)=1
∴f(x)min=1
(2)∵|t-k|+|t+k|≥|(t-k)-(t+k)|=2|k|
(|t-k|+|t+k|)min=2|k|
问题转化为f(x)≤2 即|x-1|+|x-2|≤2
显然由
|
5 |
2 |
|
1 |
2 |
∴实数x的取值集合为[
1 |
2 |
5 |
2 |
(3)A=[
1 |
2 |
5 |
2 |
x2+9 |
x |
9 |
x |
由函数x+
9 |
x |
1 |
2 |
5 |
2 |
61 |
10 |
9 |
x |
37 |
2 |
∴-
37 |
2 |
61 |
10 |
71 |
10 |
39 |
2 |
故实数的最小值为
71 |
10 |
点评:(1)利用绝对值的几何意义是解决本题的关键(2)不等式的恒成立往往转化为求解函数的最值问题,(3)单调性的应用是解决此类问题的重要方法
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=x2-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列{
}的前n项和为Sn,则S2010的值为( )
1 |
f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|