Question

已知函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；
（2）对（1）中的g（x）．命题P：函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求f（2）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 h（x）=x²+lg|a+2|；  g（x）=（a+1）x．
（2）由函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数得 -

a+1

2

≤(a+1)2，求出a的范围为集合A，由函数g（x）是减函数得a+1＜0，求出a的范围为集合B，则（A∩

.

B

）∪（

.

A

∩B）即为所求．
（3）求出f （2），由函数在a∈(-

3

2

，+∞)上递增，可得f （2）＞f （-

3

3

 ），从而得到所求．

解答：解：（1）由题意可得 h（x）=x²+lg|a+2|；  g（x）=（a+1）x．
（2）由二次函数f（x））=x²+（a+1）x+lg|a+2|的图象是开口向上的抛物线，且的对称轴为 x=-

a+1

2

，
在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数，故有 -

a+1

2

≤(a+1)2，解得a≤-

3

2

或a≥-1，因为a≠-2．
由函数g（x）是减函数得a+1＜0，解得a＜-1，a≠-2．
当命题P真且命题Q假时，由

a≤- 3 2 ，或a≥-1 a≥-1 a≠-2

，解得a≥-1．
当命题P假且命题Q真时，由

- 3 2 ＜a＜-1 a＜-1 a≠-2

，即得-

3

2

＜a＜-1．
故当命题P、Q有且仅有一个是真命题，得a的取值范围是[-1，+∞)∪(-

3

2

，-1)=(-

3

2

，+∞)．
（3）f（2）=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg（a+2），因为在a∈(-

3

2

，+∞)上递增，
所以，f(2)＞6+2•(-

3

2

)+lg(-

3

2

+2)=3-lg2，即：f（2）∈（3-lg2，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，不等式的解法，求两个集合的交集、并集和补集，准确运算是解题的难点．