Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），两定直线l₁x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，l₂：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，直线l₁恰为抛物线E：y²=16x的准线，直线l：x+2y-4=0与椭圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如果椭圆C的左顶点为A，右焦点为F，过F的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线l₂分别交于N，M两点，求证：四边形MNPQ的对角线的交点是定点．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的右焦点为F（c，0），由抛物线的准线方程，可得a，c的关系，再由l：x+2y-4=0与椭圆相切，联立方程组，运用判别式为0，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）当直线PQ⊥x轴时，求得P，Q的坐标，N的坐标，求得直线QN与x轴的交点，可得定点；设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（4，y₃），M（4，y₄），直线PQ方程为x=my+1，联立椭圆方程，运用韦达定理和三点共线的坐标表示，化简整理即可得到定点．

解答 解：（1）设椭圆的右焦点为F（c，0），
由题知抛物线的准线方程为x=-4即$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$消去x，得：b²（4-2y）²+a²y²=a²b²，
整理得：（a²+4b²）y²-16b²y+16b²-a²b²=0，
∵直线和椭圆相切，∴△=256b²-4（a²+4b²）（16b²-a²b²）=0，
整理得：a²+4b²-16=0即5a²-4c²-16=0，又$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，∴c²-5c+4=0，
解得c=1或c=4，又由于c＜a＜$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，∴c=1，∴a²=4，b²=3，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；                  
（2）证明：由（1）知，A（-2，0），F（1，0），直线l₂：x=4，
根据椭圆的对称性，当直线PQ⊥x轴时，
四边形MNPQ是等腰梯形，对角线PM，QN的交点在x轴上．此时，直线PQ的方程为x=1，
由x=1代入椭圆方程得y=±$\frac{3}{2}$，不妨取P（1，$\frac{3}{2}$），Q（1，-$\frac{3}{2}$），
直线AP的方程为y=$\frac{1}{2}$x+1，将x=4代入得N（4，3），
∴直线QN的方程为y-3=$\frac{3}{2}$（x-4），令y=0得x=2，
即直线QN与x轴交点为R（2，0），此点恰好为椭圆的右顶点．
下面只要证明，在一般情况下Q，N，R三点共线即可．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（4，y₃），M（4，y₄），直线PQ方程为x=my+1，
代入椭圆方程，消去y得：3（my+1）²+4y²=12，
整理得：（4+3m²）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
∵A（-2，0），P（x₁，y₁），N（4，y₃），三点共线，
∴$\overrightarrow{AP}$=（x₁+2，y₁）与$\overrightarrow{AN}$=（4+2，y₃）共线，
所以（2+x₁）y₃=6y₁，即y₃=$\frac{6{y}_{1}}{2+{x}_{1}}$=$\frac{6{y}_{1}}{3+m{y}_{1}}$，
由于$\overrightarrow{QN}$=（4-x₂，y₃-y₂），$\overrightarrow{QR}$=（2-x₂，-y₂），
∴（4-x₂）（-y₂）-（y₃-y₂）（2-x₂）=y₃（x₂-2）-2y₂=y₃（my₂-1）-2y₂
=$\frac{6{y}_{1}}{3+m{y}_{1}}$（my₂-1）-2y₂=$\frac{4m{y}_{1}{y}_{2}-6（{y}_{1}+{y}_{2}）}{3+m{y}_{1}}$
=$\frac{1}{3+m{y}_{1}}$（-4m•$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$+$\frac{36m}{4+3{m}^{2}}$）=0，
∴$\overrightarrow{QN}$与$\overrightarrow{QR}$共线，即Q，N，R三点共线，
同理可证，P，M，R三点共线．
∴四边形MNPQ的对角线的交点是定点，此定点恰为椭圆的右顶点．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查三点共线的坐标表示，以及运算化简整理的能力，属于难题．