题目内容
(本题满分13分)如图,分别过椭圆:左右焦点、的动直线相交于点,与椭圆分别交于不同四点,直线的斜率、、、满足.已知当轴重合时,,.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在定点,使得为定值.若存在,求出点坐标并求出此定值,若不存在,说明理由.
(1) (2)M、N坐标分别为;为定值
解析试题分析:(1)由已知条件推导出|AB|=2a=2,|CD|=,由此能求出椭圆E的方程.
(2)焦点F1、F2坐标分别为(-1,0),(1,0),当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(-1,0)或(1,0),当直线l1,l2斜率存在时,设斜率分别为m1,m2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(2+3m12)x2+6m12x+3m12?6=0,由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M,N其坐标分别为(0,-1)、(0,1),使得|PM|+|PN|为定值2.
(1)当l1与x轴重合时,,即, 2分
∴l2垂直于x轴,得,,(4分)
得,, ∴椭圆E的方程为. 5分
(2)焦点、坐标分别为(—1,0)、(1,0).
当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(—1,0)或(1,0). 6分
当直线l1、l2斜率存在时,设斜率分别为,,设,,
由得:,
∴,.(7分)
,
同理. 9分
∵,∴,即.
由题意知, ∴.
设,则,即, 11分
由当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(—1,0)或(1,0)也满足此方程,
∴点椭圆上, 12分
∴存在点M、N其坐标分别为,使得为定值. 13分
考点:直线与圆锥曲线的综合问题.
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