题目内容

已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1 ： ρcos(θ+
π
4
)=2
2
与曲线C2：
x=4t2
y=4t
，（t∈R）交于A，B两点，则＜
OA
 ， 
OB
＞=
π
2
π
2
．
分析：把两个曲线的极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程，联立方程组，利用一元二次方程根与系数大关系求出x1+x2=12，x1•x2=16，再利用两个向量的夹角公式求出结果．
解答：解：曲线C1 ： ρcos(θ+
π
4
)=2
2
即 ρ(cosθcos
π
4
-sinθsin
π
4
)=2
2
，
所以x-y=4，即y=x-4．
曲线C2：
t2=
x
4
t=
y
4
，即(
y
4
)2=
x
4
，即y2=4x．
联立
y=x-4
y2=4x
，可得（x-4）2=4x，化简得x2-12x+16=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有 x1+x2=12，x1•x2=16．
又 cos＜
OA
 ，
OB
＞=
OA
•
OB
|
OA
 |•|
OB
|
=
(x1 ，y1)•(x2 ， y2)
x
2
1
+
y
2
1
•
x
2
2
+
y
2
2
=
x1x2+y1y2
x
2
1
+
y
2
1
•
x
2
2
+
y
2
2
，
故 y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=16-4×12+16=-16，故 x1x2+y1y2=16+（-16）=0，
故 cos＜
OA
 ，
OB
＞=0，
∴＜
OA
 ，
OB 
 ＞=
π
2
，
故答案为
π
2
．
点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：ρcos(θ+
π
4
)=2
2
与曲线C2：
x=4t2
y=4t
（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1　几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
B．选修4-2　矩阵与变换
若点A（2，2）在矩阵M=
cosα-sinα
sinαcosα
对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵．
C．选修4-4　坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，
曲线C1：ρcos(θ+
π
4
)=2
2
与曲线C2：
x=4t2
y=4t
（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
D．选修4-5　不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．
A．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
B．已知矩阵A=
.
1-2
3-7
.
．
（1）求逆矩阵A-1；
（2）若矩阵X满足AX=
3
1
，试求矩阵X．
C．坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：ρcos（θ+
π
4
）=2
2
与曲线C2：
x=4t2
y=4t
，（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均为正数，求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

(1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换

   若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．

    (2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程

    已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．

    (3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲

   求证:,.

 

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