Question

【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1　几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
B．选修4-2　矩阵与变换
若点A（2，2）在矩阵M=

cosα -sinα sinα cosα

对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵．
C．选修4-4　坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，
曲线C₁：ρcos(θ+

π

4

)=2

2

与曲线C₂：

x=4t2 y=4t

（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
D．选修4-5　不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

Answer 1

分析：A、先证明∠PDF=∠OCP，再利用公共角，即可证明三角形相似；
B、利用矩阵的乘法，可得矩阵，再求其逆矩阵即可；
C、化极坐标方程为直角坐标方程，再将直线方程代入抛物线方程，利用向量知识可以证明；
D、利用基本不等式可得三个不等式，再相加，即可证得结论．

解答：A．选修4-1　几何证明选讲
证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，…（3分）
又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，
从而∠PDF=∠OCP．…（8分）
在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，
故△PDF∽△POC．…（10分）
B．选修4-2　矩阵与变换
解：M

2 2

=

-2 2

，即

2cosα-2sinα 2sinα+2cosα

=

-2 2

，…（4分）
所以

cosα-sinα=-1 sinα+cosα=1.

解得

cosα=0 sinα=1.

…（6分）
所以M=

0 -1 1 0

．由M^-1M=

1 0 0 1

，得M-1=

0 1 -1 0

．…（10分）
另解：M=

.

0 -1 1 0

.

=1≠0，M-1=

0 1 -1 0

．
另解：M=

0 -1 1 0

=

cos90° -sin90° sin90° cos90°

，看作绕原点O逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是M-1=

cos(-90°) -sin(-90°) sin(-90°) cos(-90°)

=

0 1 -1 0

．
C．选修4-4　坐标系与参数方程
解：曲线C₁的直角坐标方程x-y=4，曲线C₂的直角坐标方程是抛物线y²=4x，…（4分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将这两个方程联立，消去x，得y²-4y-16=0，
∴y₁+y₂=4，y₁y₂=-16．…（6分）
∴x₁x₂=（y₁+4）（y₂+4）=y₁y₂+4（y₁+y₂）+16=-16
∴x₁x₂+y₁y₂=0．…（8分）
∴

OA

•

OB

=0，∴OA⊥OB．…（10分）
D．选修4-5　不等式选讲
证明：因为x，y，z都是为正数，所以

x

yz

+

y

zx

=

1

z

(

x

y

+

y

x

)≥

2

z

．…（4分）
同理可得

z

xy

+

y

zx

≥

2

x

，

x

yz

+

z

xy

≥

2

y

，
当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．…（7分）
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．…（10分）

点评：本题考查选讲知识，考查学生分析解决问题的能力，知识点综合，有难度．