Question

在正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA的长为，PA与CD所成的角的大小等于．
（1）求正四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若正四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的表面上，求此球O的半径．

Answer 1

解：（1）取AB的中点M，记正方形ABCD对角线的交点为O'，连PM，PO'，AC，则AC过O'．
∵PA=PB，∴PM⊥AB，又，，得．…（4分）
AO'=4，PO'=2
∴正四棱锥P-ABCD的体积等于（立方单位）．…（8分）
（2）连AO，OO'，设球的半径为R，则OA=R，OO'=R-PO'=R-2，在Rt△OO'A中有R²=（R-2）²+4²，得R=5．…（12分）
分析：（1）取AB的中点M，记正方形ABCD对角线的交点为O'，连PM，PO'，AC，则AC过O'．求出四棱锥的底面面积，与高，即可求正四棱锥P-ABCD的体积；
（2）正四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的表面上，连AO，OO'，设球的半径为R，通过解直角三角形，求此球O的半径．
点评：本题考查球的内接多面体，球的半径以及几何体的体积，考查计算能力与空间想象能力．