Question

已知函数f（x）=lnx+ax．
（I）若对一切x＞0，f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；
（II）在函数f（x）的图象上取定两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x）₂）（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=k成立．

Answer 1

（I）解：对一切x＞0，f（x）≤1恒成立，即对一切x＞0，lnx+ax≤1恒成立，∴a≤
令g（x）=，则
令g′（x）＜0，可得0＜x＜e²；令g′（x）＞0，可得x＞e²，
∴x=e²时，g（x）取得最小值g（e²）=-
∴a≤-；
（II）证明：由题意，k==
要证明存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=k成立，只要证明f′（x）-k=0在（x₁，x₂）内有解即可
令h（x）=f′（x）-k=-，只要证明h（x）在（x₁，x₂）内存在零点即可
∵h（x）在（x₁，x₂）内是减函数，只要证明h（x₁）＞0，h（x₂）＜0
即证＞0，＞0
令F（t）=t-1-lnt（t＞0），∵F′（t）=1-，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴函数在t=1时，取得最小值0，∴F（t）≥0
∵＞0且；＞0且≠1
∴＞0，＞0
∴结论成立．
分析：（I）对一切x＞0，f（x）≤1恒成立，即对一切x＞0，lnx+ax≤1恒成立，分离参数，求出函数的最值，即可求得结论；
（II）要证明存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=k成立，只要证明f′（x）-k=0在（x₁，x₂）内有解即可．
点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．