Question

已知函数f（x）=ax²+（2a-1）x-3在区间[-

3

2

，2]上的最大值为1，求实数a的值．

Answer 1

分析：因为当a等于0时，函数在区间[-

3

2

，2]上的最大值不为1，所以得到a不等于0，即可得到函数为二次函数，找出f（x）的对称轴方程，分三种情况考虑：当f（-

3

2

）等于1时，代入函数解析式即可求出a的值，然后求出对称轴方程，经过判断发现a要小于0时，顶点取得最大值，与f（-

3

2

）等于1矛盾，不合题意；当f（2）等于1时，代入函数解析式即可求出a的值，同理求出函数的对称轴方程，判断f（2）为最大值符合题意；当顶点为最高点时，得到f（x₀）=1，代入解析式即可求出a的值，经过验证得到满足题意的a的值，综上，得到满足题意的所有a的值．

解答：解：a=0时，f（x）=-x-3，f（x）在[-

3

2

，2]上不能取得1，
故a≠0，则f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0）的对称轴方程为x₀=

1-2a

2a

，
①令f(-

3

2

)=1，解得a=-

10

3

，
此时x₀=-

23

20

∈[-

3

2

，2]，
∵a＜0，∴f（x₀）最大，所以f(-

3

2

)=1不合适；
②令f（2）=1，解得a=

3

4

，
此时x₀=-

1

3

∈[-

3

2

，2]
因为a=

3

4

＞0，x0=-

1

3

∈[-

3

2

，2]且距右端2较远，所以f（2）最大合适；
③令f（x₀）=1，得a=

1

2

(-3±2

2

)，经验证a=

1

2

(-3-2

2

)
综上，a=

3

4

或a=

1

2

(-3-2

2

)．

点评：此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．解题的关键是找出对称轴与区间的关系．