Question

已知函数y=2cos²x-2acosx-（2a+1）
（1）求函数的最小值f（a）
（2）试确定满足f(a)=

1

2

的a的值
（3）当a取（2）中的值时，求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）令cosx=t，t∈[-1，1]，则y=2t²-2at-（2a+1），再进行分类讨论；
（2）由（1）知，分两种情况讨论：-4a+1=

1

2

或-

a2

2

-2a-1=

1

2

，应注意a的范围；（3）当a=-1时，y=2t2+2t+1=2(t+

1

2

)2+

1

2

，故可求．

解答：解：（1）令cosx=t，t∈[-1，1]，则y=2t²-2at-（2a+1），对称轴t=

a

2

…（2分）
当

a

2

＜-1，即a＜-2时，[-1，1]是函数y的递增区间，y_min=1
当

a

2

＞1，即a＞2时，[-1，1]是函数y的递减区间，y_min=-4a+1
当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，ymin=-

a2

2

-2a-1…（6分）
（2）当-4a+1=

1

2

，得a=

1

8

，与a＞2矛盾；
当-

a2

2

-2a-1=

1

2

得a=-1，或a=-3，∴a=-1，
综上，a=-1…（10分）
（3）当a=-1时，y=2t2+2t+1=2(t+

1

2

)2+

1

2

因为t∈[-1，1]
所以，当t=1时，y取最大值，y_max=5 …12分）

点评：本题主要考查二次函数的最值，应注意把握区间与对称轴之间的关系，做好分类讨论．