题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ （x+1），当点P（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上移动时，点Q（ $数学公式$ ，y₀）（t∈R）在函数y=g（x）的图象上移动．
（1）若点P坐标为（1，-1），点Q也在y=f（x）的图象上，求t的值；
（2）求函数y=g（x）的解析式；
（3）当t＞0时，试探求一个函数h（x）使得f（x）+g（x）+h（x）在限定定义域为[0，1）时有最小值而没有最大值．

解：（1）当点P坐标为（1，-1），点Q的坐标为 $\text{[math]}$ ，
∵点Q也在y=f（x）的图象上，∴ $\text{[math]}$ ，即t=0．
（根据函数y=f（x）的单调性求得t=0，请相应给分）
（2）设Q（x，y）在y=g（x）的图象上
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
而P（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，∴ $\text{[math]}$
代入得， $\text{[math]}$ 为所求．
（3） $\text{[math]}$ ；或 $\text{[math]}$ 等．
如：当 $\text{[math]}$ 时，
f（x）+g（x）+h（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵1-x²在[0，1）单调递减，∴0＜1-x²≤1故 $\text{[math]}$ ，
即f（x）+g（x）+h（x）有最小值0，但没有最大值．
分析：（1）写出Q点的坐标，代入f（x）的解析式中即可求出t
（2）设Q（x，y）为y=g（x）的图象上任意一点，由P和Q点的对应关系，可用x、y表达出P点的坐标，代入f（x）的解析式得到的x和y的关系即g（x）的表达式．
（3）因为f（x）和g（x）均为以 $\text{[math]}$ 为底的对数函数，故h（x）也选择以 $\text{[math]}$ 为底的对数函数，
由对数的运算法则使f（x）+g（x）+h（x）化为以 $\text{[math]}$ 为底的对数函数，在[0，1）上有意义且为减函数即可．
点评：本题考查轨迹法求函数的解析式、对数的运算法则、对数函数的性质问题，考查对开放问题的探求．