题目内容
已知四棱锥
的底面
是正方形，
底面，
是
上的任意一点.
（1）求证：平面
平面
；
（2）当
时，求二面角
的大小.
（1）证明详见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：(1)证明平面
内的直线
垂直平面
内的两条相交直线
，即可证明平面
平面
；(2) 为方便计算，不妨设
，先以
为原点，
所在的直线分别为
轴建立空间直角坐标系，写给相应点的坐标，然后分别求出平面
和平面
的一个法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可.
试题解析：(1)
底面
，所以
2分
底面是正方形，所以
4分
所以
平面
又
平面
所以平面平面 5分
（2）证明：点
为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设
由题意得
，
,
6分
，又
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
， 8分
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
10分
设二面角
的平面角为
，则
.
显然二面角的平面角为为钝角，所以
即二面角
的大小为
12分.
考点：1.空间中的垂直关系；2.空间向量在解决空间角中的应用.
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