题目内容
将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：
①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．
②函数y=f（x）满足F（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，f（a））成中心对称（注：若a不属于x的定义域时，则f（a）不存在）．
利用上述结论完成下列各题：
（1）写出函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标，并加以证明．
（2）已知m（m≠-1）为实数，试问函数f(x)=
的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
（3）若函数f(x)=(x-
)(|x+t|+|x-3|)-4的图象关于点(
，f(
))成中心对称，求t的值．
①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．
②函数y=f（x）满足F（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，f（a））成中心对称（注：若a不属于x的定义域时，则f（a）不存在）．
利用上述结论完成下列各题：
（1）写出函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标，并加以证明．
（2）已知m（m≠-1）为实数，试问函数f(x)=
| x+m |
| x-1 |
（3）若函数f(x)=(x-
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| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（1）函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标为(
，0)（k∈N*）． …（2分）
当k=2n（n∈N*）时，tan(
+x)+tan(
-x)=tanx-tanx=0；
当k=2n+1（n∈N*）时，tan(
+x)+tan(
-x)=-cotx+cotx=0，得证． …（6分）
（2）由f(x)=
=1+
，得f（x）的图象的对称中心的坐标为（1，1）．…（9分）f(x+1)+f(1-x)=
+
=
+
=2，由结论①得，对实数m（m≠-1），函数f(x)=
的图象关于点（1，1）成中心对称． …（12分）
（3）由结论②F(x)=f(x+
)-f(
)=x(|x+
+t|+|x-
|)为奇函数，…（14分）
其中g（x）=x为奇函数，故h(x)=|x+
+t|+|x-
|为偶函数
于是，由h（x）=h（-x）可得|x+
+t|+|x-
|=|x-(
+t)|+|x+
|，…（16分）
因此，
+t=
，解得t=
为所求． …（18分）
| kπ |
| 2 |
当k=2n（n∈N*）时，tan(
| kπ |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
当k=2n+1（n∈N*）时，tan(
| kπ |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
（2）由f(x)=
| x+m |
| x-1 |
| m+1 |
| x-1 |
| x+1+m |
| x+1-1 |
| 1-x+m |
| 1-x-1 |
| x+1+m |
| x |
| -x+1+m |
| -x |
| x+m |
| x-1 |
（3）由结论②F(x)=f(x+
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其中g（x）=x为奇函数，故h(x)=|x+
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于是，由h（x）=h（-x）可得|x+
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因此，
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练习册系列答案
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的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
的图象关于点
成中心对称，求t的值．
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