题目内容

将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：
①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．
②函数y=f（x）满足F（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，f（a））成中心对称（注：若a不属于x的定义域时，则f（a）不存在）．
利用上述结论完成下列各题：
（1）写出函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标，并加以证明．
（2）已知m（m≠-1）为实数，试问函数 $数学公式$ 的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
（3）若函数 $数学公式$ 的图象关于点 $数学公式$ 成中心对称，求t的值．

解：（1）函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标为 $\text{[math]}$ （k∈N^*）． …（2分）
当k=2n（n∈N^*）时， $\text{[math]}$ ；
当k=2n+1（n∈N^*）时， $\text{[math]}$ ，得证． …（6分）
（2）由 $\text{[math]}$ ，得f（x）的图象的对称中心的坐标为（1，1）．…（9分） $\text{[math]}$ ，由结论①得，对实数m（m≠-1），函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点（1，1）成中心对称． …（12分）
（3）由结论② $\text{[math]}$ 为奇函数，…（14分）
其中g（x）=x为奇函数，故 $\text{[math]}$ 为偶函数
于是，由h（x）=h（-x）可得 $\text{[math]}$ ，…（16分）
因此， $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 为所求． …（18分）
分析：（1）根据正切函数图象观察出图象的对称中心的坐标为 $\text{[math]}$ 再利用①进行证明．
（2）将函数 $\text{[math]}$ 化成 $\text{[math]}$ ，据其简图可知对称中心的坐标为（1，1）．再利用②进行证明．
（3）若函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称，则）由结论② $\text{[math]}$ 为奇函数，从而转化为 $\text{[math]}$ ，求t的取值即可．
点评：本题考查阅读理解、分析解决问题、转化、计算的能力．用到的知识有三角函数图象的对称中心，分式函数的对称中心，函数的奇偶性判断．三角函数诱导公式．