题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC=,AB=2BC=2,AC⊥FB.
(1)求证:AC⊥平面FBC;
(2)求四面体FBCD的体积;
(3)线段AC上是否存在点M,使得EA∥平面FDM?证明你的结论.
【答案】(1) 见解析.(2) .(3) 见解析.
【解析】试题分析:
(1)(2)(3)
试题解析:
(1)证明:在△ABC中,
∵AC=,AB=2,BC=1,
∴,
∴,
∴AC⊥BC.
又AC⊥FB,BC ∩FB=B,
∴AC⊥平面FBC.
(2)∵AC⊥平面FBC,FC平面FBC,
∴AC⊥FC.
∵CD⊥FC,AC∩CD=C,
∴FC⊥平面ABCD.
在等腰梯形ABCD中可得∠BCD=120°,CB=DC=1,
∴FC=1.
∴,
∴四面体FBCD的体积为.
(3)线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA∥平面FDM.
证明如下:
连接CE,与DF交于点N,连接MN.
∵四边形CDEF为正方形,
∴N为CE中点.
∴EA∥MN.
又MN平面FDM,EA平面FDM,
∴EA∥平面FDM.
故线段AC上存在点M,使得EA∥平面FDM成立.

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