题目内容

【题目】在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,面ABCD为等腰梯形,ABCDACAB=2BC=2,ACFB.

(1)求证:AC⊥平面FBC

(2)求四面体FBCD的体积;

(3)线段AC上是否存在点M,使得EA∥平面FDM?证明你的结论.

【答案】(1) 见解析.(2) .(3) 见解析.

【解析】试题分析:

(1)(2)(3)

试题解析:

(1)证明:在△ABC中,

ACAB=2,BC=1,

ACBC

ACFBBC FBB

AC⊥平面FBC

(2)∵AC⊥平面FBCFC平面FBC

ACFC

∵CD⊥FC,ACCD=C,

FC⊥平面ABCD

在等腰梯形ABCD中可得∠BCD=120°,CBDC=1,

FC=1.

∴四面体FBCD的体积为

(3)线段AC上存在点M,且MAC中点时,有EA∥平面FDM

证明如下:

连接CE,与DF交于点N,连接MN

∵四边形CDEF为正方形,

NCE中点.

EAMN

MN平面FDMEA平面FDM

EA∥平面FDM

故线段AC上存在点M,使得EA∥平面FDM成立.

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