Question

已知m∈R,设命题P:x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根,不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈［-1,1］恒成立;命题Q:函数f(x)=x³+mx²+(m+)x+6在(-∞,+∞)上有极值.求使P正确且Q正确的m的取值范围.

Answer 1

思路分析:P:本题主要考查集合的运算、绝对值不等式、应用导数研究函数的单调性及极值等基础知识.将方程的根与不等式联系起来,通过解绝对值不等式求出m的范围,Q:利用导数、根的判别式,求出m的取值范围,然后求P,Q的交集.

解:(1)由题设x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根,得x₁+x₂=a且x₁x₂=-2,

∴|x₁-x₂|=.

当a∈［-1,1］时,a²+8的最大值为9,即|x₁-x₂|≤3.

由题意,不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈［-1,1］恒成立的m的解集等于不等式|m²-5m-3|≥3的解集,由此不等式得m²-5m-3≤-3①或m²-5m-3≥3②.

不等式①的解集为0≤m≤5,

不等式②的解集为m≤-1或m≥6.

因此,当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时,P是正确的.

(2)对函数f(x)=x³+mx²+(m+)x+6求导,得f′(x)=3x²+2mx+m+.

令f′(x)=0,即3x²+2mx+m+=0.

此一元二次方程的判别式Δ=4m²-12(m+)=4m²-12m-16.

若Δ=0,则f′(x)=0有两个相等的实根x₀,且f′(x)的符号如下:

x	(-∞,x0)	x0	(x0,+∞)
f′(x)	+	0	+

因此,f(x₀)不是函数的极值.

若Δ＞0,则f′(x)=0有两个不相等的实根x₁和x₂(x₁＜x₂),且f′(x)的符号如下:

X	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+

因此,函数f(x)在x=x₁处取得极大值,在x=x₂处取得极小值.

综上所述,当且仅当Δ＞0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上有极值.

由Δ=4m²-12m-16＞0得m＜-1或m＞4,

因此,当m＜-1或m＞4时,Q是正确的.

综上,使P正确且Q正确的实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(4,5］∪［6,+∞).