题目内容
【题目】设椭圆
的离心率
，椭圆上的点到左焦点
的距离的最大值为3.
（1）求椭圆
的方程；
（2）求椭圆的外切矩形
的面积
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据题意求出
，进而可求出结果；
（2）当矩形
的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设
，
所在直线斜率为
，则
，
斜率为
，设出直线的方程为
，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.
解：（1）由题设条件可得
，
，解得
，
∴
，所以椭圆
的方程为
（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积 
当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，
设直线的方程为，与椭圆联立
可得
，
由
，得
显然直线的直线方程为
，直线，间的距离
，
同理可求得，间的距离为
所以四边形面积为
（等号当且仅当
时成立）
又
，
故由以上可得外切矩形面积的取值范围是
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