题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论在
上的单调性;
(2)当时,求
在
上的零点个数.
【答案】(1)当时,
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增(2)有1个零点
【解析】
(1)求得的导函数
,对
分成
和
两种情况,分类讨论
的单调性.
(2)当时,利用
的二阶导数判断出一阶导数
的单调性,结合零点存在性定理求得
的零点,由此判断出
的单调区间,再结合零点存在性定理,判断出
在区间上的零点个数.
(1)因为,所以
.
因为,所以
.
①当,即
时,
,
所以在
上单调递增.
②当,即
时,令
,得
.
当时,
,所以
,
当时,
,所以
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
综上所述,当时,
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)当时,
,则
.
设,则
.
当时,
,所以
在
上单调递增.
因为,
,所以存在
,使得
,
且在上
,
单调递减,在
上
,
单调递增.
所以为
在
上的最小值.
又因为,
,
所以在
上有1个零点.
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