题目内容
已知椭圆
、抛物线
的焦点均在
轴上，
的中心和
的顶点均为原点
，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录如下：
、
、
、
．
（1）经判断点
，
在抛物线上，试求出
的标准方程；
（2）求抛物线
的焦点
的坐标并求出椭圆的离心率；
（3）过的焦点直线与椭圆交不同两点
且满足
，试求出直线的方程．
（1）
；（2）
；（3）
或
.
【解析】
试题分析：（1）先设抛物线
，然后将
或
代入可得
，从而确定了
的方程，也进一步确定
、
不在
上，只能在
上；设
：
，把点、代入得
，求解即可确定
的方程；（2）由（1）中所求得的方程不难得到的焦点
及椭圆的离心率
；（3）先假设所求直线的方程
（或
，不过此时要先验证直线斜率不存在的情况），然后联立直线与椭圆的方程，消去消去
，得
，得到
，再得到
，要使
，只须
，从中求解即可得到
，从而可确定直线的方程.
试题解析：（1）设抛物线，则有
，而、在抛物线上 2分
将
坐标代入曲线方程，得
3分
设：，把点、代入得
解得
∴
方程为 6分
（2）显然，
，所以抛物线焦点坐标为
由（1）知，
，
所以椭圆的离心率为 8分
（3）法一：直线过抛物线焦点
，设直线的方程为，两交点坐标为
，
由
消去，得 10分
∴①
② 12分
由
，即
，得
将①②代入（*）式，得
，解得
14分
所求的方程为：
或
15分
法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意 9分
当直线斜率存在时，直线过抛物线焦点
，设其方程为，与
的交点坐标为
由
消掉
，得
， 10分
于是
，
①
即
② 12分
由
，即，得
将①、②代入（*）式，得
解得
14分
故所求的方程为或 15分.
考点：1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.椭圆的标准方程及其几何性质；3.直线与圆锥曲线的综合问题.
