Question

已知函数f（x）=x²，对任意实数t，g_t（x）=-tx+1．
（1）求函数y=g₃（x）-f（x）的单调区间；
（2）h(x)=

x

f(x)

-gt(x)在（0，2]上是单调递减的，求实数t的取值范围；
（3）若f（x）＜mg₂（x）对任意x∈(0，

1

3

]恒成立，求正数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用配方法求函数y=g₃（x）-f（x）的单调区间；
（2）由已知得，h(x)=

x

f(x)

-gt(x)=

1

x

+tx-1，利用单调性的定义，可知要使h（x）在（0，2]上是单调递减的，必须h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立，从而只需1-tx₁x₂＞0恒成立，即t＜

1

x1x2

恒成立，故可求实数t的取值范围；（3）解法一：由f（x）＜mg₂（x），得x²＜m（-2x+1），分离参数可得

1

m

＜

1

x2

-

2

x

，从而问题转化为

1

m

＜(

1

x2

-

2

x

)min，x∈(0，

1

3

]，利用配方法可求函数y=

1

x2

-

2

x

的最小值3，故可求正数m的取值范围；
解法二：由f（x）＜mg₂（x），得x²+2mx-m＜0．构造f（x）=x²+2mx-m，则f（x）＜0对任意x∈(0，

1

3

]恒成立，只需

f(0)≤0 f( 1 3 )＜0

，即

-m≤0 1 9 + 2 3 m-m＜0

，从而可求正数m的取值范围．

解答：解：（1）y=g₃（x）-f（x）=-x2-3x+1=-(x+

3

2

)2+

13

4

…（1分）
所以函数y的单调递增区间是(-∞，-

3

2

]，单调递减区间是[-

3

2

，+∞)．…（3分）
（2）由已知得，h(x)=

x

f(x)

-gt(x)=

1

x

+tx-1，…（4分）
设0＜x₁＜x₂≤2，
则h(x1)-h(x2)=(

1

x1

+tx1-1)-(

1

x2

+tx2-1)=

(x2-x1)(1-tx1x2)

x1x2

…（6分）
要使h（x）在（0，2]上是单调递减的，必须h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立．   …（7分）
因为x₂-x₁＞0，0＜x₁x₂＜4，
所以1-tx₁x₂＞0恒成立，即t＜

1

x1x2

恒成立，…（8分）[
因为

1

x1x2

＞

1

4

，所以t≤

1

4

，
所以实数t的取值范围是(-∞，

1

4

]．…（9分）
（3）解法一：由f（x）＜mg₂（x），得x²＜m（-2x+1），①…（10分）
因为m＞0且x∈(0，

1

3

]，所以①式可化为

1

m

＜

1

x2

-

2

x

，②…（11分）
要使②式对任意x∈(0，

1

3

]恒成立，只需

1

m

＜(

1

x2

-

2

x

)min，x∈(0，

1

3

]（12分）
因为

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1，所以当x=

1

3

时，函数y=

1

x2

-

2

x

取得最小值3，…（12分）
所以

1

m

＜3，又m＞0，所以m＞

1

3

，
故正数m的取值范围是(

1

3

，+∞)．…（13分）
解法二：由f（x）＜mg₂（x），得x²+2mx-m＜0，…（10分）
令f（x）=x²+2mx-m，则f（x）＜0对任意x∈(0，

1

3

]恒成立，…（11分）
只需

f(0)≤0 f( 1 3 )＜0

，即

-m≤0 1 9 + 2 3 m-m＜0

，解得m＞

1

3

，…（12分）
故正数m的取值范围是(

1

3

，+∞)．                             …（13分）

点评：本题考查的重点是求参数的范围问题，考查恒成立问题，考查函数的单调区间，解题的关键是利用分离参数法，进而求函数的最值．