Question

已知函数f（x）=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1），B（，1），且当x∈[0，]时，f（x）取得最大值2-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在向量m，使得将f（x）的图象按向量m平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函数f（x）=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1），B（，1），结合 当x∈[0，]时，f（x）取得最大值2-1我们易求出a，b，c的值，进而求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）由已知中f（x）的解析式，根据正弦型函数的性质，可以求出他的图象的对称中心，将其对称中心平移到原点即可得到一个奇函数的图象，由此可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由题意知（2分）
∴b=c=1-a，
∴f（x）=a+（1-a）sin（2x+）．（1分）
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]．（1分）
当1-a＞0时，
由a+（1-a）=2-1，
解得a=-1；    （2分）
当1-a＜0时，
a+（1-a）•=2-1，无解； （1分）
当1-a=0时，a=2-1，相矛盾．（1分）
综上可知a=-1．（2分）
（Ⅱ）是奇函数，将g（x）的图象向左平移个单位，再向下平移一个单位就可以得到f（x）的图象．因此，将f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数的图象．故是满足条件的一个向量．（4分）
点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，正弦函数的图象和性质，其中（1）中要注意对1-a＞0时的符合进行分类讨论，尽管对答案无影响，但在题目答案的严谨性方面还是必要的．