Question

已知函数f(x)=ax2-2

4+2b-b2

x，g(x)=-

1-(x-a)2

（a，b∈R）．
（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（3）对满足（2）中的条件的整数对（a，b），奇函数h（x）的定义域和值域都是区间[-k，k]，且x∈[-k，0]时，h（x）=f（x），求k的值．

Answer 1

分析：（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，则此区间必是函数定义上单调递减区间的子集，由此可以求出a的取值范围
（2）研究两个函数的最值，由于g(x)=-

1-(x-a)2

在x=a时取到最小值，故求出f(x)=ax2-2

4+2b-b2

x取最大值的x₀，令其等于a．
（3）由题设条件，根据奇函数的性质求出h（x）在[-k，k]上的解析式，再根据其定义域和值域都是区间[-k，k]，即可得到关于k的等式求出k的值．

解答：解：（1）当b=0时，f（x）=ax²-4x
若a=0，则f（x）=-4x符合条件，
若a≠0，则

a＞0 4 2a ≥2

∴0＜a≤1，a的取值范围0≤a≤1
（2）a=0时，f(x)无最大值∴a≠0必有

a＜0 4+2a-b2≥0

?

a＜0 1- 5 ≤b≤1+ 5

于是x0=a=

4+2b-b2

a

，则a2=

5-(b-1)2

，
∴a=-1，b=-1或3
因此符合条件的整数对为（-1，-1）和（-1，3）．
（3）对于（2）的整数对（a，b），f（x）=-x²-2x，（7）当x∈[0，k]时，h（x）=-h（-x）=-f（-x）=x²-2x

∴h(x)= -x2-2x，-k≤x≤0 x2-2x，0＜x≤k ，由x2-2x=x，得x=3，由-x2-2x=x，得x=-3. 由图象可知，x∈[-1，1]时，h(x)∈[-1，1] x∈[-3，3]时，h(x)∈[-3，3] ∴k=1或k=3

点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，解此类题的关键是正确判断函数的单调性，确定函数的最值在什么位置取到，求解中要注意到函数的特殊性，如本题中g(x)=-

1-(x-a)2

的最值根据观察得出．灵活选用判断方法，可以降低解题的难度．