Question

国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（Ⅰ）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
（Ⅱ）试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率=

原有价值-现有价值

原有价值

×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由题意可设价值与重量的关系式为：y=kx²，再根据3克拉的价值是54000美元求得k值，即可求得此钻石的价值与重量的函数关系式；
（Ⅱ）解法一：若把一颗钻石按重量比为m：n切割成两颗，确定价值损失的百分率，利用基本不等式可得结论；
解法二：设一颗钻石切割成两颗，其重量比为1：x，确定价值损失的百分率，利用基本不等式可得结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意设v=kw²，又当w=3时，v=54000，∴k=6000，故v=kw²=6000w²．…（4分）
设这颗钻石的重量为a克拉，则按重量比为1：3切割后的价值为6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2．
价值损失为6000a2-[6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2]．
价值损失的百分率为

6000a2-[6000( 1 4 a)2+6000( 3 4 a)2]

6000a2

=0.375=37.5%
答：价值损失的百分率为37.5%．…（8分）
（Ⅱ）解法一：若把一颗钻石按重量比为m：n切割成两颗，价值损失的百分率应为1-[(

m

m+n

)2+(

n

m+n

)2]=

2mn

(m+n)2

，又

2mn

(m+n)2

≤

2•( m+n 2 )2

(m+n)2

=

1

2

，
等号当且仅当m=n时成立．即重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大…（13分）
解法二：设一颗钻石切割成两颗，其重量比为1：x，则价值损失的百分率为1-[(

1

1+x

)2+(

x

1+x

)2]=

2x

x2+2x+1

，
又x＞0，∴x²+1≥2x，故

2x

x2+2x+1

≤

2x

2x+2x

=

1

2

等号当且仅当x=1时成立．故当重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大…（13分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于中档题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．