题目内容

国际上钻石的重量计量单位为克拉,已知某种钻石的价值v(美元)与其重量w(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.
(I)写出v关于w的函数关系式;
(II)若把一颗钻石切割成重量比为1:x(x≥1)的两颗钻石,价值损失的百分率为y,写出y关于x的函数关系式;
(III)试证明:把一颗钻石切割成两颗钻石时,按重量比为1:1切割,价值损失的百分率最大.
(注:价值损失的百分率=
原有价值-现有价值原有价值
×100%,在切割过程中的重量损耗忽略不计)
分析:(Ⅰ)先由题意可设价值与重量的关系式为:y=kx2,再根据3克拉的价值是54000美元求得k值,即可求得此钻石的价值与重量的函数关系式;
(II)先求按重量比为1:x切割后的价值,可得价值损失,利用价值损失的百分率=
原有价值-现有价值
原有价值
×100%,可得y关于x的函数关系式;
(III)利用基本不等式,可证结论.
解答:(Ⅰ)解:依题意设v=kw2,又当w=3时,v=54000,∴k=6000,故v=kw2=6000w2(w>0);
(II)解:设这颗钻石的重量为a克拉,则按重量比为1:x切割后的价值为6000(
1
1+x
a
2+6000(
x
1+x
a
2
价值损失为6000a2-[6000(
1
1+x
a
2+6000(
x
1+x
a
2]
∴价值损失的百分率为y={6000a2-[6000(
1
1+x
a
2+6000(
x
1+x
a
2]}÷6000a2×100%=
2x
(1+x)2

∴y=
2x
(1+x)2
(x≥1);
(III)证明:由(II)y=
2x
(1+x)2
=
2
1
x
+2+x

∵x≥1,∴
1
x
+x≥2

2
1
x
+2+x
1
2
,等号当且仅当x=1时成立,此时y有最大值
1
2

故当重量比为1:1时,价值损失的百分率达到最大.
点评:本题主要考查函数模型的建立与应用,考查基本不等式求最值,确定函数解析式是关键.
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