题目内容
国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．（Ⅰ）写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；
（Ⅱ）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m=n时，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率=
| 原有价值-现有价值 | 原有价值 |
分析：（Ⅰ）设价值与重量的关系式为y=kx2；3克拉的钻石价值是54000美元，代入上式，可得k的值，从而得函数关系式．
（Ⅱ）两颗钻石的重量为m、n克拉，原有价值是6000（m+n）2，现有价值是6000m2+6000n2；价值损失的百分率为：
×100%，化简整理，得其最大值，即钻石价值损失的最大百分率．
（Ⅱ）两颗钻石的重量为m、n克拉，原有价值是6000（m+n）2，现有价值是6000m2+6000n2；价值损失的百分率为：
| 6000(m+n)2-6000m2-6000n2 |
| 6000(m+n)2 |
解答：解：（Ⅰ）由题意，可设价值与重量的关系式为y=kx2；
∵3克拉的钻石价值是54000美元，∴54000=k•32，解得：k=6000，∴y=6000•x2；
所以，此钻石的价值与重量的函数关系式为y=6000•x2．
（Ⅱ）若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6000（m+n）2，
现有价值是6000m2+6000n2；价值损失的百分率为：
×100%=
×100%≤
=
，当且仅当m=n时取等号；
所以，当m=n时，钻石价值损失的百分率最大．
∵3克拉的钻石价值是54000美元，∴54000=k•32，解得：k=6000，∴y=6000•x2；
所以，此钻石的价值与重量的函数关系式为y=6000•x2．
（Ⅱ）若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6000（m+n）2，
现有价值是6000m2+6000n2；价值损失的百分率为：
| 6000(m+n)2-6000m2-6000n2 |
| 6000(m+n)2 |
| 2mn |
| (m+n)2 |
2×(
| ||
| (m+n)2 |
| 1 |
| 2 |
所以，当m=n时，钻石价值损失的百分率最大．
点评：本题考查了正比例函数模型的应用，和基本不等式变形为(
)2≥ab（其中a＞0，b＞0）的应用，是中档题．
| a+b |
| 2 |
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