Question

如图，正方体AC₁中，

DF

DD1

=

AE

AA1

=

2

3

，

CG

CC1

=

BH

BB1

=

1

3

，点P为平面EFGH内的一动点，且满足∠PAA₁=∠C₁AA₁，则点P的轨迹是（　　）

• A、抛物线
• B、圆
• C、椭圆
• D、双曲线

Answer 1

分析：如图所示．不妨是正方体的棱长为1．由题意可知：对角线AC₁与平面EFGH的交点为AC₁的中点．由已知满足∠PAA₁=∠C₁AA₁，可知：tan∠PAA₁=tan∠C₁AA₁=

A1C1

AA1

=

2

．作正方体AC₁的平行于底面ABCD的中截面（线段AA₁的中点是O），可得：中截面内满足tan∠QAA₁=

2

的点Q的轨迹是圆弧MPN，满足OQ=OM=ON=OP=

2

2

．则AQ或延长AQ与平面EFGH的交点即为点P的轨迹，其轨迹是椭圆的一部分．

解答：解：如图所示．不妨是正方体的棱长为1．
由题意可知：对角线AC₁与平面EFGH的交点为AC₁的中点．
由满足∠PAA₁=∠C₁AA₁，则tan∠PAA₁=tan∠C₁AA₁=

A1C1

AA1

=

2

．
作正方体AC₁的平行于底面ABCD的中截面（线段AA₁的中点是O），在中截面内满足tan∠QAA₁=

2

的点Q的轨迹是圆弧MPN，
满足OQ=OM=ON=OP=

2

2

．
则AQ或延长AQ与平面EFGH的交点即为点P的轨迹，其轨迹是椭圆的一部分．
故选：C．

点评：本题考查了圆的定义、椭圆的定义、角相等的应用，属于难题．