Question

(经典回放)已知函数f(x)＝(a＞1)．

(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；

(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，＞1，且＞0， 　　∴－＝(－1)＞0． 　　又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0， 　　∴＞0． 　　于是f(x2)－f(x1)＝－＋＞0， 　　故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． 　　(2)证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0，则＝，且0＜＜1， 　　∴0＜＜1，即＜x0＜2．与假设x0＜0矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根． 　　证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0， 　　①若－1＜x0＜0，则＜－2，＜1， 　　∴f(x0)＜－1与f(x0)＝0矛盾． 　　②若x0＜－1，则＞0，＞0，∴f(x0)＞0与f(x0)＝0矛盾． 　　故方程f(x)＝0没有负数根．