题目内容

13．在正三棱锥P-ABC中，已知A在侧面PBC上的射影为点H，连结PH并延长BC于点D，且$\frac{PH}{PD}=\frac{1}{4}$，求侧面与底面所成二面角的大小．

分析 设正三棱锥P-ABC底面边长为2a，侧棱长为b，PH=x，DH=3x，确定∠ADP是侧面与底面所成二面角，a=2$\sqrt{3}$x，即可求侧面与底面所成二面角的大小．

解答 解：设正三棱锥P-ABC底面边长为2a，侧棱长为b，PH=x，DH=3x，则
因为正三棱锥P-ABC中，已知A在侧面PBC上的射影为点H，
所以∠ADP是侧面与底面所成二面角，
所以cos∠ADP=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}x}{a}$，
因为AH2=b2-x2=3a2-9x2，4x=$\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}$，
所以a=2$\sqrt{3}$x，
所以cos∠ADP=$\frac{1}{2}$，
所以∠ADP=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查求侧面与底面所成二面角的大小，考查学生的计算能力，确定cos∠ADP=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}x}{a}$是关键．

练习册系列答案
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6．求下列各式的值．
（1）cos$\frac{π}{5}$cos$\frac{2π}{5}$；
（2）$\frac{1}{2}-co{s}^{2}\frac{π}{8}$；
（3）$\frac{2tan150°}{1-ta{n}^{2}150°}$．
4．已知某校的数学专业开设了A，B，C，D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门．
（Ⅰ）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（Ⅱ）若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望．
1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右顶点A是抛物线y2=8x的焦点．直线l：y=k（x-1）与椭圆C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如果$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．
8．过点A（-3，-4）作椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1的切线l，求直线l的方程．
18．某银行招聘，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择．现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试．若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为$\frac{2}{3}$；丙通过B组测试的概率为$\frac{1}{2}$；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功．假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题．
（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率．
（Ⅱ）记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
5．已知椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过其右焦点与长轴垂直的弦长为1．如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AM，BM与直线l：x=4分别交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）若|CD|=4，求点M的坐标．
2．已知O为坐标原点，A、B为曲线y=$\sqrt{x}$上的两个不同点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6，则直线AB与圆x2+y2=$\frac{4}{9}$的位置关系是（　　）
A．相交B．相离C．相交或相切D．相切或相离
1．正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，D是BC的中点．
（1）求直线BB1与平面AC1D所成的余弦值；
（2）求二面角A1-AC1-D．

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