Question

19．已知A、B、C为锐角△ABC的内角，且2tanB=tanA+tanC，f（cos2C）=$\frac{ta{n}^{2}A}{9}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（tanB）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理及两角和的正切函数公式化简已知等式可得：tan²C=$\frac{9}{ta{n}^{2}A}$，由倍角公式及同角三角函数关系式可得f（cos2C）=$\frac{1+cos2C}{1-cos2C}$，从而解得f（x）的解析式．
（2）由（1）可得：f（tanB）=$\frac{1+tanB}{1-tanB}$=tan（B+$\frac{π}{4}$），结合范围$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，由正切函数的图象和性质可得f（tanB）的最小值．

解答 解：（1）∵A、B、C为锐角△ABC的内角，且2tanB=-2tan（A+C）=-2×$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=tanA+tanC，
∴解得：tanC=$\frac{3}{tanA}$，即：tan²C=$\frac{9}{ta{n}^{2}A}$，
∴f（cos2C）=$\frac{ta{n}^{2}A}{9}$=$\frac{1}{ta{n}^{2}C}$=$\frac{co{s}^{2}C}{si{n}^{2}C}$=$\frac{\frac{1+cos2C}{2}}{\frac{1-cos2C}{2}}$=$\frac{1+cos2C}{1-cos2C}$．
∴可得：f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，（x≠1）．
（2）∵由（1）可得：f（tanB）=$\frac{1+tanB}{1-tanB}$=tan（B+$\frac{π}{4}$），
又∵0$＜B＜\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴由正切函数的图象和性质可得：当B+$\frac{π}{4}$→$\frac{π}{2}$⁺时，即B→$\frac{π}{4}$⁺时，f（tanB）=tan（B+$\frac{π}{4}$）→-∞，无最小值．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理及两角和的正切函数公式，倍角公式及同角三角函数关系式的应用，考查了正切函数的图象和性质，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．