Question

（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=，属于特征值1的一个特征向量为α₂=．
①求矩阵A；②求直线y=x+2在矩阵A的作用下得到的曲线方程．

Answer 1

【答案】分析：①根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立四个等式关系，解二元一次方程组即可．
②设直线y=x+2上任意一点（x，y），（x'，y'）是所得的直线上一点，根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标用未知的坐标表示，代入已知直线的方程，得到结果．
解答：解：①由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为 可得   =6 ，
即 ；
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为 ，可得   =，
即
解得 ，即矩阵 ．
②设y=x+2上一点（x，y）在A作用下变为（x′，y′），
则 =，
∴，
∴，∴，
∵y=x+2，代入得 ，
化简，得y′=x′+2，
∴变换后的直线方程是：y=x+2．
点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查矩阵的变换，属于基础题．