Question

设函数f(x)=

(x-a)2

x

，其中a∈R．
（I）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）当a＞4时，是否存在k∈（1，2]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意x∈R恒成立？若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（ I）先求f′（x）=0的值，发现需要讨论a的正负，分别判定在f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值；
（ II）由（ I）可知当a＞4时f（x）为单调函数，利用单调性直接转化为k-cosx≤k²-cos²x恒成立，分离参数求解即可．

解答：解：（ I）f(x)=

(x-a)2

x

，f′(x)=

x2-a2

x2

．
令f′（x）=0，解得x=-a或x=a． 由于a≠0，对定义域（-∞，0）∪（0，+∞）分以下两种情况讨论．
（1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，0）	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+

因此，函数f（x）在x=-a处取得极大值f（-a），且f（-a）=-4a；
函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0．
（2）若a＜0，当x变化时，f′（x）的正负如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，0）	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+

因此，函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0；
函数f（x）在x=-a处取得极小值f（-a），且f（-a）=-4a．
（ II）当k∈（1，2]时，0＜k-cosx≤3，0＜k²-cos²x≤4．
由（ I）知，：由a＞4，f（x）在（0，a）上是减函数，故f（x）在（0，4）上是减函数，
要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），x∈R，只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R）即cos²x-cosx≤k²-k（x∈R）①
设g(x)=cos2x-cosx=(cosx-

1

2

)2-

1

4

，则函数g（x）在R上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须k²-k≥2，即k≥2或k≤-1．                
所以，在区间k∈（1，2]上存在k=2，使得原不等式对任意的x∈R恒成立

点评：本小题主要考查运用导数研究函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．