题目内容

  已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：

  ，

，其中a为常数，k为非零常数.

（Ⅰ）令，证明数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（III）当时，求.

（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）

（III）


解析:

（Ⅰ）证明：由，可得

.由数学归纳法可证

.

 由题设条件，当时

因此，数列是一个公比为k的等比数列.

（Ⅱ）解：由（1）知，

当时，

当时，    .

而  

所以，当时,      .上式对也成立. 所以，数列的通项公式为. 当时

    。上式对也成立，所以，数列的通项公式为    ，

（Ⅲ）解：当时,  .

练习册系列答案
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已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列条件：
①对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
③y=f（x+1）是偶函数，
则下列不等式中正确的是（　　）
已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
log2(1-x)，       x≤0
  则：
①f（3）的值为
0
0
，
②f（2011）的值为
-1
-1
．
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]时f(x)=
1，(-1＜x≤0)
-1，(0＜x≤1)
，则f（3）=（　　）
已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对x∈R都有f（2+x）=f（2-x），当f（-3）=-2时，f（2013）的值为（　　）
A、-2B、2C、4D、-4
已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则f（2013）=（　　）
A、0B、2013C、3D、-2013

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