题目内容

设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R．

(Ⅰ)当时，讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；

(Ⅲ)若对于任意的a∈[－2，2]，不等式f(x)≤1在[－1，1]上恒成立，求b的取值范围．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：．

　　当时，

　　．

　　令，解得，，．

　　当变化时，，的变化情况如下表：

　　所以在，内是增函数，在，内是减函数．

　　(Ⅱ)解：，显然不是方程的根．

　　为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．

　　解此不等式，得．这时，是唯一极值．

　　因此满足条件的的取值范围是．

　　(Ⅲ)解：由条件可知，从而恒成立．

　　当时，；当时，．

　　因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

　　为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当

　　　　即

　　在上恒成立．

　　所以，因此满足条件的的取值范围是．

　　本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．


练习册系列答案
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已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减．

(1)求实数a的值；

(2)设g(x)＝bx2－1，若关于x的方程f(x)＝g(x)的解集恰有3个元素，求实数b的取值范围．

设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R．

(Ⅰ)当a＝－时，讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；

(Ⅲ)若对于任意的a∈[－2，2]，不等式f(x)≤1在[－1，1]上恒成立，求b的取值范围．

设函数f(x)＝x2＋ax＋2lnx，a∈R，已知函数f(x)在x＝1处有极值

(1)求实数a的值；

(2)当x∈[，e](其中e是自然对数的底数)时，证明：e(e－x)(e＋x－6)＋4≥x4；

(3)证明：对任意的n＞1，n∈N+，不等式ln＜n3－n2＋n恒成立

设函数f(x)＝x4＋bx2＋cx＋d，当x＝t1时，f(x)有极小值．

(1)若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；

(2)在(1)的条件下，若存在实数c，使函数f(x)在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求m的取值范围；

(3)若函数f(x)只有一个极值点，且存在t2∈(t1，t1＋1)，使f ′(t2)＝0，证明：函数g(x)＝f(x)－x2＋t1x在区间(t1，t2)内最多有一个零点．

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