题目内容

已知函数f(x)=a+2sin2(x+
π
4
)
(a是常数,x∈R),y=f(x)的图象经过坐标原点.
(1)求a;
(2)求函数f(x)的最小正周期;
(3)已知f(
α
2
)=
1
3
,求sin(α+
π
3
)
的值.
分析:(1)由函数图象过原点得f(0)=0,代入解析式求解即可;
(2)利用二倍角的余弦公式对解析式进行化简,利用周期公式求出函数的最小正周期;
(3)根据(2)化简的结果和题意,求出α的正弦值,再由平方关系求出它的余弦值,利用两角和的正弦公式求出sin(α+
π
3
)
的值.
解答:解:(1)由题意得,f(0)=a+2sin2(0+
π
4
)=0

解得a=-1
(2)f(x)=2sin2(x+
π
4
)-1=-cos(2x+
π
2
)=sin2x

T=
2

(3)由(2)得,f(
α
2
)=sinα=
1
3

根据平方关系得,cosα=±
2
2
3

sin(α+
π
3
)=sinαcos
π
3
+cosαsin
π
3
=
1±2
6
6
点评:本题考查了三角函数的综合题,关键是利用三角恒等变换的公式对解析式进行化简,再由条件进行求角的三角函数值,考查了知识的综合应用能力.
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