题目内容
如图所示,在矩形ABCD中,AB=3
,AD=6,BD是对角线,过点A作AE⊥BD,垂足为O,交CD于E,以AE为折痕将△ADE向上折起,使点D到点P的位置,且PB=
.

(1)求证:PO⊥平面ABCE;
(2)求二面角EAPB的余弦值.



(1)求证:PO⊥平面ABCE;
(2)求二面角EAPB的余弦值.
(1)见解析 (2)

解:(1)证明:由已知得AB=3
,AD=6,
∴BD=9.
在矩形ABCD中,∵AE⊥BD,
∴Rt△AOD∽Rt△BAD,
∴
=
,∴DO=4,∴BO=5.
在△POB中,PB=
,PO=4,BO=5,
∴PO2+BO2=PB2,
∴PO⊥OB.又PO⊥AE,AE∩OB=O,
∴PO⊥平面ABCE.
(2)∵BO=5,
∴AO=
=2
.
以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,4),

A(2
,0,0),B(0,5,0),
=(2
,0,-4),
=(0,5,-4).
设n1=(x,y,z)为平面APB的法向量.
则
即
取x=2
得n1=(2
,4,5).
又n2=(0,1,0)为平面AEP的一个法向量,
∴cos〈n1,n2〉=
=
=
,
故二面角EAPB的余弦值为
.

∴BD=9.
在矩形ABCD中,∵AE⊥BD,
∴Rt△AOD∽Rt△BAD,
∴


在△POB中,PB=

∴PO2+BO2=PB2,
∴PO⊥OB.又PO⊥AE,AE∩OB=O,
∴PO⊥平面ABCE.
(2)∵BO=5,
∴AO=


以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,4),

A(2




设n1=(x,y,z)为平面APB的法向量.
则


取x=2


又n2=(0,1,0)为平面AEP的一个法向量,
∴cos〈n1,n2〉=



故二面角EAPB的余弦值为


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