题目内容

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
a₁
a₂a₃a₄
a₅a₆a₇a₈a₉
…
已知表中的第一列数a₁，a₂，a₅，…构成一个等差数列，记为{b_n}，且b₂=4，b₅=10．表中每一行正中间一个数a₁，a₃，a₇，…构成数列{c_n}，其前n项和为S_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a₁₃=1．①求S_n；②记M={n|（n+1）c_n≥λ，n∈N*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．

解：（1）设{b_n}的公差为d，
则 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，∴b_n=2n．
（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，
由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²个数，且3²＜13＜4²，
∴a₁₀=b₄=8，
∴a₁₃=a₁₀q³=8q²，
又a₁₃=1，解得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
=4- $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ．
②由①知， $\text{[math]}$ ，不等式（n+1）c_n≥λ，可化为 $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴n≥3时，f（n+1）＜f（n）．
∵集合M的元素个数是3，
∴λ的取值范围是（4，5]．
分析：（1）设{b_n}的公差为d，则 $\text{[math]}$ ，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²个数，且3²＜13＜4²，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，由错位相减法能够求得 $\text{[math]}$ ．
②由 $\text{[math]}$ ，知不等式（n+1）c_n≥λ，可化为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，由此能够推导出λ的取值范围．
点评：本题考查数列的通项公式的求法、前n项和的计算和等比数列性质的应用，解题时要注意方程思想和错位相减求和法的合理运用，注意合理地进行等价转化．

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记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足

=1(n≥2)．
（1）求证数列{

}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）上表中，若a₈₁项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当a81=-

时，公比q的值．

已知整数数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

…
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）令cn=2+ban+b•2an-1（b为大于等于3的正整数），问数列{c_n}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表．记表中第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1．S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足2b_n=b_nS_n-S_n²（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明数列{

}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）图中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比为同一个正数．当a₈₁=-

时，求上表中第k（k≥3）行所有数的和．

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足 $数学公式$ ．
（1）求证数列 $数学公式$ 成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）上表中，若a₈₁项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当 $数学公式$ 时，公比q的值．

已知整数数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

…
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）令

（b为大于等于3的正整数），问数列{c_n}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．