题目内容

5、定义在R上的偶函数y=f(x),满足f(x+1)=-f(x),且在[-3,-2]上是减函数,若α,β是锐角三角形的两个内角,则(  )
分析:由条件f(x+1)=-f(x),得到f(x)是周期为2的周期函数,由f(x)是定义在R上的偶函数,在[-3,-2]上是减函数,
得到f(x)在[2,3]上是增函数,在[0,1]上是增函数,再由α,β是锐角三角形的两个内角,得到α>90°-β,
且sinα、cosβ都在区间[0,1]上,从而得到f(sinα)>f(cosβ).
解答:解:∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x),f(x)是周期为2的周期函数.
∵y=f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(-x)=f(x),∵f(x)在[-3,-2]上是减函数,
∴在[2,3]上是增函数,∴在[0,1]上是增函数,∵α,β是锐角三角形的两个内角.
∴α+β>90°,α>90°-β,两边同取正弦得:sinα>sin(90°-β)=cosβ,且sinα、cosβ都在区间[0,1]上,
∴f(sinα)>f(cosβ),故答案选 D.
点评:本题综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性.
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