Question

已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：建立坐标系，按题意写出A，B，C，D四点的坐标，进而根据

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

解出E，F，G三点的坐标 参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程．由于参数a的取值范围影响曲线的形状故按参数a的范围来对曲线进行分类．

解答：解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，
据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．
按题意有A（-2，0），B（2，0），C（2，4a），D（-2，4a）
设

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

=k（0≤k≤1），
由此有E（2，4ak），F（2-4k，4a），G（-2，4a-4ak）．
直线OF的方程为：2ax+（2k-1）y=0，①
直线GE的方程为：-a（2k-1）x+y-2a=0． ②
从①，②消去参数k，
得点P（x，y）坐标满足方程2a²x²+y²-2ay=0，
整理得

x2

1 2

+

(y-a)2

a2

=1．
当a2=

1

2

时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；
当a2≠

1

2

时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；
当a2＜

1

2

时，点P到椭圆两个焦点(-

1 2 -a2

，a)，(

1 2 -a2

，a)的距离之和为定值

2

；
当a2＞

1

2

时，点P到椭圆两个焦点(0，a-

a2- 1 2

)，(0，a+

a2- 1 2

)的距离之和为定值2a．

点评：考查解析法求点的轨迹方程，本题在做题时引入了参数k，故得到的轨迹方程为参数方程，需要消去参数得到轨迹方程，又当字母的取值范围对曲线的形状有影响时，要对其范围进行讨论以确定轨迹的具体性状．考查分类讨论的数学思想．