题目内容

已知函数,设
(Ⅰ)求函数的单调区间
(Ⅱ)若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值
(Ⅲ)是否存在实数,使得函数的图象与函数的图象恰有四个不同交点?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由。

(Ⅰ) 的单调递减区间为,单调递增区间为;(Ⅱ)实数的最小值;(Ⅲ)当时,的图像与的图像恰有四个不同交点.

解析试题分析:(I)求函数的单调区间,首先求出的解析式,得,求函数的单调区间,可用定义,也可用导数法,由于本题含有对数函数,可通过求导来求,对求导得,分别求出的范围,从而求出的单调区间;(II)若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值,可利用导数的几何意义表示出切线的斜率,根据恒成立,将分离出来得,即大于等于的最大值即可,这样求出的范围,从而得到的最小值;(III)函数的图象与的图象有四个不同的交点,即方程有四个不同的根,分离出后,转化成新函数的极大值和极小值问题,利用图像即可求出实数的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)F(x)=f(x)+g(x)=lnx+(x>0), == 
∵a>0,由FF'(x)>0Þx∈(a,+∞),∴F(x)在(a,+∞)上是增函数.
由FF'(x)<0Þx∈(0,a),∴F(x)在(0,a)上是减函数.
∴F(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞).
(Ⅱ)由FF'(x)= (0<x≤3)得
k= FF'(x0)= (0<x0≤3)恒成立Ûa≥-x02+x0恒成立.
∵当x0=1时,-x02+x0取得最大值
∴a≥,a的最小值为.
(Ⅲ)若y=g()+m-1=x2+m-的图像与y=f(1+x2)=ln(x2+1)的图像恰有四个不同交点,即x2+m-=ln(x2+1)有四个不同的根,亦即m=ln(x2+1)-x2+有四个不同的根.令= ln(x2+1)-x2+.
则GF'(x)=-x==
当x变化时GF'(x)、G(x)的变化情况如下表:

 
(-¥,-1)
 (-1,0)
  (0,1)
 (1,+¥)
GF'(x)的符号
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