题目内容

（12分）定义的“倒平均数”为，已知数列前项的“倒平均数”为．

    （1）记，试比较与的大小；

    （2）是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在,求出最大的实数；若不存在，说明理由．

解析：（1）记数列的前项和为，则依题有

，故

故数列的通项为．故，易知，．

（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，则对任意都成立， ，

得，有或．故存在最大的实数符合题意．

练习册系列答案
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（2011•嘉定区一模）定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为
n
x1+x2+…+xn
（n∈N*）．
（1）若数列{an}前n项的“倒平均数”为
1
2n+4
，求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：当n为奇数时，bn=1，当n为偶数时，bn=2．若Tn为{bn}前n项的倒平均数，求
lim
n→∞
Tn；
（3）设函数f（x）=-x2+4x，对（1）中的数列{an}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤
an
n+1
对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
（2013•嘉定区一模）定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为
n
x1+x2+…+xn
（n∈N*）．已知数列{an}前n项的“倒平均数”为
1
2n+ 4
，记cn=
an
n+1
（n∈N*）．
（1）比较cn与cn+1的大小；
（2）设函数f（x）=-x2+4x，对（1）中的数列{cn}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
（3）设数列{bn}满足b1=1，b2=b（b∈R且b≠0），bn=|bn-1-bn-2|（n∈N*且n≥3），且{bn}是周期为3的周期数列，设Tn为{bn}前n项的“倒平均数”，求
lim
n→∞
Tn．

（本题满分16分）定义，，…，的“倒平均数”为（）．已知数列前项的“倒平均数”为，记（）．

（1）比较与的大小；

（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．

（3）设数列满足，（且），（且），且是周期为的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．

 
定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为（n∈N*）．已知数列{an}前n项的“倒平均数”为，记cn=（n∈N*）．
（1）比较cn与c n+1的大小；
（2）设函数f（x）=﹣x2+4x，对（1）中的数列{cn}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
（3）设数列{bn}满足b1=1，b2=b（b∈R且b≠0），bn=|bn﹣1﹣bn﹣2|（n∈N*且n≥3），且{bn}是周期为3的周期数列，设Tn为{bn}前n项的“倒平均数”，求Tn．

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