题目内容
（2011•嘉定区一模）定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为
（n∈N*）．
（1）若数列{an}前n项的“倒平均数”为
，求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：当n为奇数时，bn=1，当n为偶数时，bn=2．若Tn为{bn}前n项的倒平均数，求
Tn；
（3）设函数f（x）=-x2+4x，对（1）中的数列{an}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤
对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
| n |
| x1+x2+…+xn |
（1）若数列{an}前n项的“倒平均数”为
| 1 |
| 2n+4 |
（2）设数列{bn}满足：当n为奇数时，bn=1，当n为偶数时，bn=2．若Tn为{bn}前n项的倒平均数，求
| lim |
| n→∞ |
（3）设函数f（x）=-x2+4x，对（1）中的数列{an}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤
| an |
| n+1 |
分析：（1）设数列{an}的前n项和为Sn，由题意，Tn=
=
，所以Sn=2n2+4n．由此能求出{an}的通项公式．
（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，则分n为偶数和n为奇数时，分别求出Sn，从而求出Tn．由此能求出
Tn．
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤
对任意n∈N*恒成立，则-x2+4x≤
对任意n∈N*恒成立，令cn=
，则数列{cn}是递增数列，由此能推导出存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤
对任意n∈N*恒成立．
| n |
| Sn |
| 1 |
| 2n+4 |
（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，则分n为偶数和n为奇数时，分别求出Sn，从而求出Tn．由此能求出
| lim |
| n→∞ |
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤
| an |
| n+1 |
| 4n+2 |
| n+1 |
| 4n+2 |
| n+1 |
| an |
| n+1 |
解答：解：（1）设数列{an}的前n项和为Sn，
由题意，Tn=
=
，
所以Sn=2n2+4n． …（1分）
所以a1=S1=6，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n+2，
而a1也满足此式．…（2分）
所以{an}的通项公式为an=4n+2．…（1分）
（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，则当n为偶数时，Sn=
，…（1分）
当n为奇数时，Sn=
+1=
． …（1分）
所以Tn=
． …（3分）
所以
Tn=
． …（2分）
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤
对任意n∈N*恒成立，
则-x2+4x≤
对任意n∈N*恒成立，…（1分）
令cn=
，因为cn+1-cn=
＞0，
所以数列{cn}是递增数列，…（1分）
所以只要-x2+4x≤c1，即x2-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．…（2分）
所以存在最大的实数λ=1，
使得当x≤λ时，f（x）≤
对任意n∈N*恒成立．（2分）
由题意，Tn=
| n |
| Sn |
| 1 |
| 2n+4 |
所以Sn=2n2+4n． …（1分）
所以a1=S1=6，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n+2，
而a1也满足此式．…（2分）
所以{an}的通项公式为an=4n+2．…（1分）
（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，则当n为偶数时，Sn=
| 3n |
| 2 |
当n为奇数时，Sn=
| 3(n-1) |
| 2 |
| 3n-1 |
| 2 |
所以Tn=
|
所以
| lim |
| n→∞ |
| 2 |
| 3 |
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤
| an |
| n+1 |
则-x2+4x≤
| 4n+2 |
| n+1 |
令cn=
| 4n+2 |
| n+1 |
| 2 |
| (n+1)(n+2) |
所以数列{cn}是递增数列，…（1分）
所以只要-x2+4x≤c1，即x2-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．…（2分）
所以存在最大的实数λ=1，
使得当x≤λ时，f（x）≤
| an |
| n+1 |
点评：本题考查数列的通项公式、极限的求法，探索实数是否存在．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答．
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