题目内容
已知递增的等比数列{an}满足a3=8，且a3+2是a2，a4的等差中项．（ I）求数列{an}的通项公式；（ II）若bn=log2an+1，Sn是数列{bn}的前n项和，求S20的值．
分析：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，依题意有2（a3+2）=a2+a4，又a3=8．故a2+a4=20．由此能够推导出an=2n．
（Ⅱ）bn=log22n+1=n+1，由此能求出S20．
（Ⅱ）bn=log22n+1=n+1，由此能求出S20．
解答：解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，
依题意有2（a3+2）=a2+a4，
∵a3=8．
∴a2+a4=20．
于是有
，
解得
或
，
又{an}是递增的，故a1=2，q=2．
所以an=2n．
（Ⅱ）∵an=2n．
∴an+1=2n+1，
∵bn=log2an+1，
∴bn=log22n+1=n+1，
∴S20=2+3+4+5+…+21
=
(2+21)
=230．
依题意有2（a3+2）=a2+a4，
∵a3=8．
∴a2+a4=20．
于是有
|
解得
|
|
又{an}是递增的，故a1=2，q=2．
所以an=2n．
（Ⅱ）∵an=2n．
∴an+1=2n+1，
∵bn=log2an+1，
∴bn=log22n+1=n+1，
∴S20=2+3+4+5+…+21
=
| 20 |
| 2 |
=230．
点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
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