题目内容

已知递增的等比数列{an}满足a3=8,且a3+2是a2,a4的等差中项.( I)求数列{an}的通项公式;( II)若bn=log2an+1,Sn是数列{bn}的前n项和,求S20的值.
分析:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,依题意有2(a3+2)=a2+a4,又a3=8.故a2+a4=20.由此能够推导出an=2n
(Ⅱ)bn=log22n+1=n+1,由此能求出S20
解答:解:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,
依题意有2(a3+2)=a2+a4
∵a3=8.
∴a2+a4=20.
于是有
a1q+a1q3=20
a1q2=8

解得
a1=2
q=2
a1=32
q=
1
2

又{an}是递增的,故a1=2,q=2.
所以an=2n
(Ⅱ)∵an=2n
∴an+1=2n+1
∵bn=log2an+1
∴bn=log22n+1=n+1,
∴S20=2+3+4+5+…+21
=
20
2
(2+21)

=230.
点评:本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的等式的处理问题,对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.
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