题目内容
已知递增的等比数列{an}满足a3=8,且a3+2是a2,a4的等差中项.( I)求数列{an}的通项公式;( II)若bn=log2an+1,Sn是数列{bn}的前n项和,求S20的值.
分析:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,依题意有2(a3+2)=a2+a4,又a3=8.故a2+a4=20.由此能够推导出an=2n.
(Ⅱ)bn=log22n+1=n+1,由此能求出S20.
(Ⅱ)bn=log22n+1=n+1,由此能求出S20.
解答:解:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,
依题意有2(a3+2)=a2+a4,
∵a3=8.
∴a2+a4=20.
于是有
,
解得
或
,
又{an}是递增的,故a1=2,q=2.
所以an=2n.
(Ⅱ)∵an=2n.
∴an+1=2n+1,
∵bn=log2an+1,
∴bn=log22n+1=n+1,
∴S20=2+3+4+5+…+21
=
(2+21)
=230.
依题意有2(a3+2)=a2+a4,
∵a3=8.
∴a2+a4=20.
于是有
|
解得
|
|
又{an}是递增的,故a1=2,q=2.
所以an=2n.
(Ⅱ)∵an=2n.
∴an+1=2n+1,
∵bn=log2an+1,
∴bn=log22n+1=n+1,
∴S20=2+3+4+5+…+21
=
20 |
2 |
=230.
点评:本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的等式的处理问题,对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.

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