Question

6．若函数f（x）的定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．例如：f（x）=x²+x-1在R上存在x=1，满足f（-1）=-f（1），故称f（x）=x²+x-1为“局部奇函数”．设f（x）=2^x+m是定义在[-1，1]上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为$[-\frac{5}{4}，-1]$．

Answer 1

分析 利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解即可．

解答 解：根据局部奇函数的定义，f（x）=2^x+m时，f（-x）=-f（x）可化为2^x+2^-x+2m=0，
因为f（x）的定义域为[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，
令t=2^x∈[$\frac{1}{2}$，2]，则-2m=t+$\frac{1}{t}$，
设g（t）=t+$\frac{1}{t}$，则g'（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$，
当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，
当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，
所以t∈[$\frac{1}{2}$，2]时，g（t）∈[2，$\frac{5}{2}$]．所以-2m∈[2，$\frac{5}{2}$]，即m∈[-$\frac{5}{4}$，-1]．
故答案为：$[-\frac{5}{4}，-1]$

点评 本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．