Question

1．等差数列{a_n}的首项为a₁，公差d=-1，前n项和为S_n．
（Ⅰ）若a₁∈{1，2，3}，且存在n∈N^*，使S_n=-5成立，求a₁的值；
（Ⅱ）若S_n＞a_n-$\frac{2{n}^{2}-3n+1}{2}$对任意大于1的正整数n均成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）写出等差数列的前n项和，由S_n=-5整理得到关于n的方程，结合题意可知判别式$（2{a}_{1}+1）^{2}+40$必为完全平方数，由a₁∈{1，2，3}，逐个检验知，a₁=1符合要求，此时n=5；
（Ⅱ）由S_n＞a_n-$\frac{2{n}^{2}-3n+1}{2}$，整理得${a}_{1}＞-\frac{n+1}{2}$，可知当n=2时，$-\frac{n+1}{2}$取到最大值$-\frac{3}{2}$．从而求得a₁的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意，得${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d=-\frac{1}{2}{n}^{2}+（{a}_{1}+\frac{1}{2}）n=-5$，
整理得：n²-（2a₁+1）n-10=0．
∵n∈N^*，由求根公式得$n=\frac{（2{a}_{1}+1）±\sqrt{（2{a}_{1}+1）^{2}+40}}{2}$，
∴$（2{a}_{1}+1）^{2}+40$必为完全平方数，
∵a₁∈{1，2，3}，逐个检验知，a₁=1符合要求，此时n=5；
（Ⅱ）由S_n＞a_n-$\frac{2{n}^{2}-3n+1}{2}$，得
$-\frac{1}{2}{n}^{2}+（{a}_{1}+\frac{1}{2}）n＞{a}_{1}+1-n-\frac{2{n}^{2}-3n+1}{2}$，
整理得：$（n-1）{a}_{1}＞\frac{-{n}^{2}+1}{2}$，
∵n＞1，∴${a}_{1}＞-\frac{n+1}{2}$，
∴当n=2时，$-\frac{n+1}{2}$取到最大值$-\frac{3}{2}$．
故a₁的取值范围是（$-\frac{3}{2}，+∞$）．

点评 本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．