Question

已知圆C:(x-1)²+(y-2)²=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R),

(1)求证:不论m取什么实数值,直线l与圆恒交于两点;

(2)求直线l被圆C截得线段最短长度以及此时的直线方程.

Answer 1

(1)略;(2)4,2x-y-5=0.?

解析:(1)将直线l变形为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,?

对任意m∈R恒成立,则有

所以对任意实数m恒过定点A(3,1).?

又|AC|=＜5,所以A(3,1)在圆C内.?

所以不论m取什么实数值时,直线l与圆恒交于两点.?

(2)直线l被圆C截得的最短弦与直径AC垂直,而k_AC=-,所以k_l=2,所求直线的方程为y-1=2(x-3),?

即2x-y-5=0,此时弦长为2=4.