Question

10．设双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的离心率为e，右顶点为A，点Q（3a，0），若C上存在一点P，使得AP⊥PQ，则（　　）

• A． $e∈（{1，\sqrt{2}}）$
• B． $e∈（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$
• C． $e∈（{1，\sqrt{3}}）$
• D． $e∈（{\sqrt{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 P（m，n），根据数量积为零算出（m-a）（3a-m）-n²=0，结合点P（m，n）在双曲线上消去n，得关于m的一元二次方程（m-a）（3a-m）-b²（$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=0，此方程的一个根为a，而另一个根为大于a的实数，由此建立关于a、b、c不等式关系，化简整理即可得到离心率e的取值范围．

解答 解：设点P（m，n），可得$\overrightarrow{AP}$=（m-a，n），$\overrightarrow{PQ}$=（3a-m，-n），
∵AP⊥PQ，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PQ}$=（m-a）（3a-m）-n²=0…（1）
又∵P（m，n）在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上，
∴得n²=b²（$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-1）…（2）
将（2）式代入（1）式，得（m-a）（3a-m）-b²（$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=0，
化简整理，得-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$m²+4am+c²-4a²=0，
此方程的一根为m₁=a，另一根为m₂=$\frac{4{a}^{3}-a{c}^{2}}{{c}^{2}}$．
∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，
∴$\frac{4{a}^{3}-a{c}^{2}}{{c}^{2}}$＞a，得4a²＞2c²，即e²＜2，
由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题给出双曲线上存在一点P，到A（a，0）和Q（3a，0）所张的角等于90°，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线关系等知识，属于中档题．