题目内容
已知函数
(1)若函数在[1,2]上是减函数,求实数的取值范围;
(2)令,是否存在实数,当时,函数的最小值是3,若存在,求出的取值;若不存在,说明理由.
【答案】
(1). (2)存在实数,使得当时,函数的最小值是3.
【解析】(1) 由题意得在[1,2]上恒成立,然后转化为在[1,2]上恒成立,再利用二次函数的性质求解即可.
(2) 本小题属于存在性问题,应先假设存在实数,使有最小值3,然后利用导数求其最小值,然后建立关于a的方程求解即可验证是否存在
(1)由题意得在[1,2]上恒成立,令
,有,得,得.
(2)假设存在实数,使有最小值3,由题知
,
当时,,在上单调递减,,
(舍去)
当时,在上单调递减,在上单调递增,所以
,所以,满足条件;
当时,,在上单调递减,,
(舍去).
综上,存在实数,使得当时,函数的最小值是3.
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