题目内容

已知函数 $数学公式$ ，
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有以下不等式 $数学公式$ 成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

解：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ …（2分）
函数为[1，+∞）上单调函数．
若函数为[1，+∞）上单调增函数，
则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式 $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上恒成立．
也即 $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上恒成立．…（3分）
令 $\text{[math]}$ ，上述问题等价于a≥φ（x）_max，
而 $\text{[math]}$ 为在[1，+∞）上的减函数，
则φ（x）_max=φ（1）=0，于是a≥0为所求．…（5分）
（Ⅱ）证明：由 $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …（7分）
而 $\text{[math]}$ ①…（9分）
又（x₁+x₂）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂≥4x₁x₂，
∴ $\text{[math]}$ ②…（10分）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵a≤0
∴ $\text{[math]}$ ③…（12分）
由①、②、③得 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数．…（13分）
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，由函数为[1，+∞）上单调增函数，知f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式 $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上恒成立．由此能求出a的取值范围．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此入手能够证明当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
点评：本题考查函数的恒等性在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．