Question

3．如图，ABCD是边长为3的正方形，ABEF是矩形，平面ABCD上平面ABEF，G为EC的中点．
（1）求证：AC∥平面BFG；
（2）若三棱锥C-DGB的体积为$\frac{9}{4}$，求二面角E-BF-G的正切值．

Answer 1

分析 （1）连接AE，交BF于O，由中位线定理可得OG∥AC，再由线面平行的判定得答案；
（2）由题意可知平面BCE⊥平面ABE，再由三棱锥C-DGB的体积为$\frac{9}{4}$求得BE，过G作GH⊥BE=H，过H作HK⊥BF于K，连接GK，则∠GKH为二面角E-BF-G的平面角．然后通过
解直角三角形得答案．

解答 （1）证明：如图，
连接AE，交BF于O，∵ABEF是矩形，∴O为AE的中点，
连接OG，又G为EC的中点，∴OG∥AC，
∵OG?BGF，AC?BGF，
∴AC∥平面BFG；
（2）解：∵ABCD是边长为3的正方形，∴${S}_{△BCD}=\frac{9}{2}$，
又G到平面BCD的距离为$\frac{BE}{2}$，
∴${V}_{C-DGB}={V}_{G-BCD}=\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×\frac{BE}{2}=\frac{9}{4}$，则BE=3．
过G作GH⊥BE=H，过H作HK⊥BF于K，连接GK，则∠GKH为二面角E-BF-G的平面角．
在Rt△GHK中，GH=$\frac{3}{2}$，KH=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴tan∠GKH=$\frac{GH}{KH}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{4}}=\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．