题目内容
【题目】已知三棱柱中,
,
,
,
.
求证:面
面
;
若
,在线段
上是否存在一点
,使二面角
的平面角的余弦值为
?若存在,确定点
的位置;若不存在,说明理由
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
由
,可得四边形
为菱形,则
,又
,利用线面垂直的判定可得
平面
,得到
,结合
,即可证明
平面
,从而可证明面
面
;
以C为坐标原点,分别以CA,CB所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系,设在线段AC上存在一点P,满足
,使得二面角
的余弦值为
,利用二面角
的余弦值为
,可求得
的值,从而得到答案。
证明:如图,
,
四边形
为菱形,
连接,则
,又
,且
,
平面
,则
,
又,即
,
平面
,
而平面
,
面
面
;
解:以C为坐标原点,分别以CA,CB所在直线为x,y轴建立如图所示的空间直角坐标系,
,
,
,
0,
,
2,
,
0,
,
0,
设在线段上存在一点
,满足
,使得二面角
的余弦值为
.
则.
0,
,
,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
由,取
,得
;
平面的一个法向量为
.
由,
解得:,或
,
因为,所以
.
故在线段上存在一点
,满足
,使二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】田忌赛马是史记
中记载的一个故事,说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发也们的马脚力都差不多,都分为上、中、下三等
于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得公子们许多赌注
假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示:
田忌的马 | 上等马 | 中等马 | 下等马 |
上等马 | 1 | ||
中等马 | |||
下等马 | 0 |
比赛规则规定:一次比由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马出骞,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.
如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;
如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
【题目】某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关,得到的统计数据如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量 | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
(1)经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量(百件)与月份
之间的相关关系.请用最小二乘法求
关于
的线性回归方程
,并预测6月份该商场空调的销售量;
(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销,对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大,经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
有购买意愿对应的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查,求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.
参考公式与数据:线性回归方程,其中
,
.